Rectilinear Crossing Minimization

This thesis deals with the rectilinear crossing minimization problem, which is NP-hard [BD93]. More precisely, we propose a heuristic for computing a straight-line drawing of a general graph G which realizes a small rectilinear crossing number. Inspired by Gutwenger et al. [GMW05], we pursue an approach which extracts a planar subgraph that includes as many edges of G as possible and iteratively reinserts the missing edges into G. After each edge insertion nodes are moved in order to reduce the number of crossings in the current drawing. We fix the position of all nodes but one node v and move v to a position, that minimizes the number of crossings in the drawing. This position can be computed in an O((m ·dmax)) time-bound, with dmax denoting the maximum degree of a node in G. We evaluate several configurations of this algorithm, which use different strategies to avoid local optima. We compare these configurations to the spring embedder of Fruchterman and Reingold [FR91] on a variety of different graph classes and observe that each of our configurations yields drawings with a significantly lower rectilinear crossing number than the commonly used spring embedder. Furthermore, our algorithm finds solutions which are close to optimal on the complete graphs Kn for n ≤ 30. Deutsche Zusammenfassung Diese Arbeit beschäftigt sich mit dem rectilinear crossing minimization problem, das NP-schwer ist [BD93]. Wir schlagen eine Heuristik für das Berechnen einer geradlinigen Zeichnung eines beliebigen Graphen G vor, sodass diese Zeichnung eine kleine geradlinige Kreuzungszahl realisiert. Wir verfolgen einen Ansatz, der von Gutwenger et al. [GMW05] inspiriert ist. Unser Algorithmus extrahiert einen planaren Subgraph, der möglichst viele Kanten von G enthält. Die übrigen Kanten fügt der Algorithmus iterativ wieder hinzu. Nach jedem Einfügen einer Kante werden Knoten verschoben, um die Kreuzungszahl der Zeichnung zu reduzieren. Wir fixieren die Position von allen Knoten, bis auf einen Knoten v und positionieren v sodass die Anzahl an Kreuzungen in der Zeichnung minimiert wird. Diese Position kann in einer Laufzeit von O((m · dmax)) gefunden werden. Wir evaluieren einige Konfigurationen dieses Algorithmus mit unterschiedlichen Strategien zum Vermeiden lokaler Optima. Diese Konfigurationen vergleichen wir mit dem Spring-Embedder von Fruchterman und Reingold [FR91] auf unterschiedlichen Graph-Klassen und stellen fest, dass unsere Konfigurationen Zeichnungen mit signifikant weniger Kreuzungen erzeugen als der üblicherweise benutzte Spring-Embedder. Außerdem findet unser Algorithmus Lösungen, die auf den vollständigen Graphen Kn für n ≤ 30 fast optimal sind.